浮點(diǎn)數(shù)的計(jì)算機(jī)不計(jì)算機(jī)表計(jì)算機(jī)表示（IEEE 754），由 UCB 數(shù)學(xué)教授 William Kahan 主要起草。想過(guò)小數(shù)后者也因其卓越貢獻(xiàn)于1989年獲得圖靈獎(jiǎng)。計(jì)算機(jī)不計(jì)算機(jī)表計(jì)算機(jī)組成原理與匯編語(yǔ)言這兩門(mén)課均對(duì)該內(nèi)容有所講解。想過(guò)小數(shù)與課程中直接拋出公式與概念不同，計(jì)算機(jī)不計(jì)算機(jī)表我想首先與各位探討"科學(xué)計(jì)數(shù)法"這個(gè)概念，進(jìn)而討論設(shè)計(jì)二進(jìn)制的科學(xué)計(jì)數(shù)法需要涉及到哪些元素。接著，我們討論如何在內(nèi)存上表達(dá)這個(gè)方案。最后討論計(jì)算機(jī)的具體實(shí)現(xiàn)。

科學(xué)計(jì)數(shù)法

我們都了解科學(xué)計(jì)數(shù)法。科學(xué)計(jì)數(shù)法的精妙之處在于，其將"量級(jí)"與"數(shù)值"兩個(gè)信息拆分，讓使用者對(duì)這兩個(gè)信息更加明確。

如上，我們可以將任何有理數(shù)拆分成 的形式。值得注意的是：

• 的取值范圍是
• 一定是一個(gè)整數(shù)

對(duì)于任何有理數(shù)，我們都可以用兩個(gè)范圍狹小（規(guī)則明確）的數(shù)字 B 與 C 來(lái)表示。

此外，我們知道，十進(jìn)制只不過(guò)是記錄數(shù)字大小的一種方式而已。歷史上出現(xiàn)過(guò)的二進(jìn)制、三進(jìn)制、二十進(jìn)制，都可以毫無(wú)障礙地表示數(shù)字，并且還有其獨(dú)具的數(shù)學(xué)特性。

那么，二進(jìn)制可以用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示嗎？答案當(dāng)然是肯定的。

二進(jìn)制的科學(xué)計(jì)數(shù)法

注意，這里下標(biāo)2，代表這個(gè)數(shù)是二進(jìn)制。同理， 對(duì)應(yīng)十進(jìn)制中的數(shù)字 。

通過(guò)觀察十進(jìn)制的科學(xué)計(jì)數(shù)法形式，對(duì)于二進(jìn)制，我們自然可以做出如下約定：

• 的取值范圍是
• 一定是一個(gè)整數(shù)

這里我們補(bǔ)充說(shuō)明一下，二進(jìn)制的小數(shù)是什么樣的。對(duì)于 這個(gè)十進(jìn)制數(shù)，如果要將其轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制：

• 將其整數(shù)部分與小樹(shù)部分分開(kāi)；
• 對(duì)于整數(shù)部分 5，我們使用"不斷除以2取余數(shù)"的方法，得到 101;
• 對(duì)于小數(shù)部分 .25，我們使用"不斷乘以2取整數(shù)"的方法，得到 .01。

關(guān)于進(jìn)制轉(zhuǎn)換的具體方法與背后的數(shù)學(xué)原理，我寫(xiě)過(guò)一篇文章進(jìn)行討論，見(jiàn)這里：十進(jìn)制轉(zhuǎn)二進(jìn)制 / 八進(jìn)制 / 十六進(jìn)制的手算方法，及其數(shù)學(xué)原理的通俗解釋。

這里，我們只需要明確，二進(jìn)制是存在小數(shù)形式的，且可以表示一切十進(jìn)制可表示的數(shù)（的近似）。

計(jì)算機(jī)如何記錄二進(jìn)制的科學(xué)計(jì)數(shù)法

接著，我們步入正題：只會(huì)表示0/1的計(jì)算機(jī)，如何記錄并表達(dá)浮點(diǎn)數(shù)呢？

給一個(gè)32位的空間，如果不做任何約束，我們只能將其理解為一個(gè)整數(shù)，并且其取值范圍為 。

這是因?yàn)椋?jì)算機(jī)只能記錄 0 和 1 這兩個(gè)信息，并不能直接記錄小數(shù)點(diǎn)點(diǎn)在哪里。因此，我們需要設(shè)置一定規(guī)則，取出一定位，用于表示小數(shù)點(diǎn)點(diǎn)在哪里。這必將犧牲一定的精度與取值范圍。

因此，我們將這 32 位空間分為三部分：

• 第一部分，用于表示 精度，即這個(gè)數(shù)字值是多少，對(duì)應(yīng)上面的B；
• 第二部分，用于表示 小數(shù)點(diǎn)，即量級(jí)，對(duì)應(yīng)上面的C；
• 第三部分，用于表示 正負(fù)，只需要使用1位。

在 IEEE 754 中，我們分別將上述一、二、三部分叫做尾數(shù)M，階碼E，符號(hào)s。于是我們有了二進(jìn)制的表達(dá)式：

為了表示盡可能多的、常用的小數(shù)，我們有如下需求：

• 對(duì)于符號(hào)位 s ，如果該位上是 0 ，則為正數(shù)；為 1 ，則為負(fù)數(shù)。
• 對(duì)于尾數(shù) M ，其取值范圍為 ；
• 對(duì)于階碼 E ，其為一個(gè)整數(shù)，并且取值范圍應(yīng)該包含負(fù)數(shù)、0、正數(shù)。

可以注意到，對(duì)于 M 、 E ，我們并不能直接用二進(jìn)制表示，還需要設(shè)定一定規(guī)則。

尾數(shù) M

假設(shè)尾數(shù) M 一共有 f 位，則 f 可表示的整數(shù)取值范圍為 ，我們稱 f 直接對(duì)應(yīng)的非負(fù)整數(shù)為 C 。為了將其投影到 ，我們做出如下變換：

解碼 E

假設(shè)解碼 E 一共有 e 位，則 e 可表示的整數(shù)取值范圍為 ，我們稱 e 直接對(duì)應(yīng)的非負(fù)整數(shù)為 Exp 。我們希望 E 可以取到負(fù)數(shù)，因此做出如下變換：

這樣，我們的 E 取值范圍就來(lái)到了 。

總結(jié)

有了如上設(shè)計(jì)的規(guī)則，我們便知曉了計(jì)算機(jī)記錄浮點(diǎn)數(shù)的方式，以及轉(zhuǎn)換流程。以下圖為例。

知識(shí)點(diǎn)與例題

上面我們討論了 IEEE 754 的思想，但是并不嚴(yán)謹(jǐn)，比如：

• 正負(fù)無(wú)窮該怎么表達(dá)？
• 如此表示會(huì)不會(huì)造成空間的浪費(fèi)？
• ...

因此，我們從數(shù)學(xué)上嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赜懻撘坏览}，考慮一下規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)。例題源自我的匯編語(yǔ)言筆記。

題目

給定一個(gè)浮點(diǎn)格式(IEEE 754)，有k位指數(shù)和n位小數(shù)，對(duì)于下列數(shù)，寫(xiě)出階碼E、尾數(shù)M、小數(shù)f和值V的公式。另外，請(qǐng)描述其位表示。

• 數(shù)5.0；
• 能夠被準(zhǔn)確描述的最大奇數(shù)；
• 最小的正規(guī)格化數(shù)。

解決

前置知識(shí)一：IEEE 754

IEEE 754約定，計(jì)算機(jī)中浮點(diǎn)數(shù)二進(jìn)制表示為：

數(shù)字形式：

• 符號(hào)：s
• 尾數(shù)：M，是一個(gè)位于區(qū)間[1.0, 2.0)內(nèi)的小數(shù)
• 階碼：E

編碼形式：

exp域：E（注意，E要進(jìn)行變換，再存儲(chǔ)在exp中）； frac域：M。

前置知識(shí)二：規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)（Normalized）

這里討論到規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)（Normalized）：

• 滿足條件：exp不全為0且不全為1。
• 真實(shí)的階碼值需要減去一個(gè)偏置（biased）量：
• 單精度數(shù)：127（Exp：1...254，E：-126...127）
• 雙精度數(shù)：1023（Exp：1...2046，E：-1022...1023）
• ，e = exp的域的位數(shù)
• E = Exp - Bias
• Exp：exp域所表示的無(wú)符號(hào)數(shù)值
• Bias的取值：
• frac的第一位隱含1：M = 1.xxx...x_2
• 因此第一位的“1”可以省去，xxx...x：bits of frac
• Minimum when 000...0 ( )
• Maximum when 111...1 ( )

前置工作一：整理變量關(guān)系

則E為

E最大值為 。（為什么不是 呢？因?yàn)橛幸?guī)定：exp全部取1為“非規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)”，因此規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)中exp不能全部取1，頂多為(1)*(0)）

E的最小值為 。（為什么不是 呢？因?yàn)橛幸?guī)定：exp全部取0為“非規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)”，因此規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)中exp不能全部取0，頂多為(0)*(1)）

前置工作二：總結(jié)特性

拋開(kāi)例題，來(lái)看一個(gè)例子：

• 8位浮點(diǎn)數(shù)表示：exp域?qū)挾葹? bits，frac域?qū)挾葹? bits。則，其偏置量的值為2^(4-1) - 1 = 7.
• 其他規(guī)則符合IEEE 754規(guī)范。

取值范圍如下表。

可以看出，假設(shè)frac有f位，則M可視為：

其中，C是整數(shù)，由frac決定，即 ；

并且C滿足 。

則浮點(diǎn)數(shù)V的十進(jìn)制即為：

也可寫(xiě)作 ：

其中， 、 分別為exp、frac位數(shù)，為常數(shù)。

解決問(wèn)題一：數(shù)0.5

較為簡(jiǎn)單，直接解決如下。

0.5???//?轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制?==>
0.1???//?移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)，使其在最左邊的1之后
M??=?1.0?//?小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字存儲(chǔ)在frac中
E?=?-1?//?因?yàn)槭亲笠?br>frac=?0*?//?共n位
exp?=?E?+?Bias
?=?-1?+?(2^(e-1)?-?1)

則，位的描述為：

解決問(wèn)題二：能夠被準(zhǔn)確描述的最大奇數(shù)

根據(jù)前置工作二，可以看出，對(duì)于規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)可化簡(jiǎn)為：

現(xiàn)在的任務(wù)有兩個(gè)：

• 是整數(shù)，不能有小數(shù)（則 應(yīng)大于等于 ）；
• 是奇數(shù)（ 不是奇數(shù)，因此使 為奇數(shù)，則 取1，則取 ）。

下面分類討論：

情況一：E可以取到f時(shí)，

即 時(shí)，

取 ， 取其能取的最大奇數(shù)，對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制為： exp：dec2bin( )，frac：1*（frac全為1）

情況二：E取不到f時(shí)，

這種情況不可能，因?yàn)镋取不到f，則很多整數(shù)都不能表示。

解決問(wèn)題三：最小的正規(guī)格化數(shù)

觀察：

則 取 ， 、 分別取最小。

由前置工作一， 取 ， 取 ，對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制為： exp：0*1，frac：0*

后記：我第一學(xué)習(xí)浮點(diǎn)數(shù)是在2019年年末，當(dāng)時(shí)對(duì)于浮點(diǎn)數(shù)的筆記和理解是有問(wèn)題的。在此感謝一位湖南大學(xué)的朋友（公眾號(hào) / CSDN：梓酥），給我發(fā)郵件，指出我的問(wèn)題~