當(dāng)你駐足于數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院（下文簡(jiǎn)稱：數(shù)院）教授謝踐生的批閱“現(xiàn)代概率論基礎(chǔ)”課時(shí)，會(huì)折服于那一黑板滿滿當(dāng)當(dāng)、增刪載門專業(yè)清晰流暢的講義驚艷板書。
沒有炫目的數(shù)學(xué)動(dòng)畫切換，也沒有精美的批閱書法字體，當(dāng)課堂教學(xué)回歸到最質(zhì)樸、增刪載門專業(yè)最直接的講義驚艷方式，黑板上數(shù)字與符號(hào)的數(shù)學(xué)縱橫交錯(cuò)間，沉淀的批閱是概率論學(xué)科數(shù)百年來的發(fā)展和創(chuàng)新。
這門課也是增刪載門專業(yè)復(fù)旦入選的2022年度上海高等學(xué)校一流本科課程之一。
“重新發(fā)現(xiàn)”定理推廣版本，講義驚艷將獨(dú)創(chuàng)內(nèi)容納入講義
在大部分?jǐn)?shù)院學(xué)生眼里，數(shù)學(xué)這是批閱一門相當(dāng)“硬核”的課程。由于本研合開的增刪載門專業(yè)設(shè)置，對(duì)于本科生來說，講義驚艷需要一定的基礎(chǔ)才能跟上課程。
盡管如此，這門課程依然在同學(xué)中有著很高的認(rèn)可度，也常常有外系同學(xué)前來旁聽。
“很好奇今年會(huì)有什么新內(nèi)容”，吸引2020級(jí)數(shù)院本科生林星選這門課的一個(gè)重要因素就是課程講義每年都在更新，“許多同學(xué)甚至?xí)蛳乱粚眠x課學(xué)生借閱新課件，通過對(duì)比課件修改，對(duì)自己的知識(shí)體系查缺補(bǔ)漏。”
課程的前身是“概率論與隨機(jī)過程基礎(chǔ)”。當(dāng)時(shí)，國內(nèi)大部分概率論學(xué)科教學(xué)采用的是外國教材，不僅內(nèi)容過于陳舊，其模式缺乏學(xué)習(xí)內(nèi)容上的整體規(guī)劃，漸漸不適應(yīng)學(xué)科發(fā)展下新時(shí)代的學(xué)生們的需求。
由于發(fā)現(xiàn)課堂反饋不理想，謝踐生著手編撰適應(yīng)課堂教學(xué)、體系完整統(tǒng)一的《現(xiàn)代概率論基礎(chǔ)》講義。
新講義的建設(shè)除了做到符號(hào)術(shù)語系統(tǒng)、理論論述框架的統(tǒng)一這類整理性工作外，也不乏學(xué)術(shù)方面的創(chuàng)新點(diǎn)。
在參考經(jīng)典概率論教材《概率論:理論與實(shí)例》（Probability : Theory and Examples）時(shí)，謝踐生發(fā)現(xiàn)書中關(guān)于布萊克韋爾更新定理的證明存在瑕疵，其中一個(gè)關(guān)鍵的取極限步驟不能使用傳統(tǒng)的勒貝格控制收斂定理。
為補(bǔ)全證明，他與合作者趙敏智討論，“重新發(fā)現(xiàn)”了作為勒貝格Lebesgue控制收斂定理的推廣版本——隨機(jī)控制收斂定理，由此修正了Durrett書中的相應(yīng)證明。而這個(gè)推廣版本的隨機(jī)控制收斂定理也進(jìn)一步被收入課程的講義中。
“其他教材都沒有發(fā)現(xiàn)這個(gè)邏輯漏洞，更沒有任何已出版教材收錄、介紹隨機(jī)控制收斂定理這一強(qiáng)大而有趣的結(jié)果，這方面我們的講義是有獨(dú)創(chuàng)性的。”
此外，講義對(duì)于概念的界定也作了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目剂俊＠纾半S機(jī)變量”的概念就不同于普遍認(rèn)識(shí)中的定義：容許在零概率事件上取值無窮大，以免學(xué)生對(duì)本科入門教科書所提到的“隨機(jī)變量就是可測(cè)函數(shù)”產(chǎn)生迷惑。
化問題為“補(bǔ)丁”，面向?qū)W生使用十二年
除了在講義中整理相關(guān)科研結(jié)果、調(diào)整內(nèi)容的前后邏輯關(guān)系之外，謝踐生還特別注重他稱為“補(bǔ)丁程序”的過程。“除了向先輩學(xué)習(xí)、向同行學(xué)習(xí)，向?qū)W生學(xué)習(xí)對(duì)講義編寫也有很大助益。”
在課堂上，講解不順之處，他會(huì)記錄下來，課后反復(fù)打磨。不采用PPT而使用板書的形式，正是為了隨時(shí)關(guān)注學(xué)生的反應(yīng)。
根據(jù)學(xué)生接受情況，他也會(huì)將學(xué)生不理解的問題在課件中標(biāo)注。日積月累，就慢慢“補(bǔ)”上了原有的局限。因此，他注重與學(xué)生的互動(dòng)，常常在課下和學(xué)生交流，從另一種角度審視課堂效果。
工作之余，他常通過互聯(lián)網(wǎng)社區(qū)了解大學(xué)生們?cè)诟怕收摲矫娴囊苫螅掌渲杏腥さ膯栴}或解答，進(jìn)行適當(dāng)修改后加入講義。這并不是一個(gè)容易的工作——這些問題往往天馬行空，把它們加入到哪一部分更加連貫和恰當(dāng)，需要反復(fù)推敲琢磨。
將實(shí)用性放在第一位，從學(xué)生自學(xué)和教師講授兩個(gè)方面統(tǒng)籌考量，化問題為“補(bǔ)丁”，謝踐生始終力求最大化學(xué)生們提出的每個(gè)問題的價(jià)值。
《現(xiàn)代概率論基礎(chǔ)》講義內(nèi)頁
“這門課，是‘概率論’的后置課程，難度和深度上都遠(yuǎn)超‘概率論’，對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)現(xiàn)代理論具有重要的意義”，胡行健大二就曾修讀謝踐生的“概率論”，大三第一學(xué)期又修讀了“現(xiàn)代概率論基礎(chǔ)”。
“兩門課都是由謝老師授課，學(xué)習(xí)時(shí)能明顯感覺到課程之間的連貫性。后續(xù)我又修讀了更多的概率方向的課程。” 如今胡行健已經(jīng)直博成為數(shù)院概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方向一名博士生，博士期間也會(huì)繼續(xù)做概率統(tǒng)計(jì)方向的研究。
說起“現(xiàn)代概率論基礎(chǔ)”課程的講義，他也有很多感觸，“講義是謝老師自編的，涵蓋了非常多的概率分支，卻能在詳略得當(dāng)?shù)幕A(chǔ)上，對(duì)理論的思想、定理的意義給出了充足解釋。大三期間，我學(xué)習(xí)了其中非常多的內(nèi)容，打下了很好的基礎(chǔ)。”
目前，《現(xiàn)代概率論基礎(chǔ)》講義已經(jīng)是面向?qū)W生使用的第十二年，謝踐生依然沒有停下“打補(bǔ)丁”的腳步。
“這門課涵蓋的內(nèi)容更多，也更深，需要反復(fù)修改校訂，每當(dāng)做出新成果時(shí)，一開始總是很飄飄然。只有冷處理一段時(shí)間，才能客觀看待，減少錯(cuò)誤。”
編撰講義是謝踐生多年教、學(xué)、研工作的積累。給成果以沉淀的時(shí)間，是他多年來在崗位上磨煉出的平常心，也是對(duì)廣大學(xué)生的責(zé)任心。
課堂上的思考變成學(xué)術(shù)成果，發(fā)表在Sci期刊
“向?qū)W生學(xué)習(xí)”的做法，也鼓勵(lì)了同學(xué)們?cè)谡n堂上獨(dú)立思考。
2019級(jí)數(shù)院本科生周瑞松，在一次習(xí)題課上，發(fā)現(xiàn)講義收錄的來源于Dvoretzky和Erd?s研究論文的一個(gè)建立強(qiáng)大數(shù)律的方法中有冗余條件，具有改進(jìn)的空間，隨即將自己的思考以郵件形式發(fā)送給謝踐生。
師生二人通過合作進(jìn)一步進(jìn)行研究和演算，確認(rèn)了有關(guān)條件的冗余性，由此建立了更漂亮的強(qiáng)大數(shù)律判據(jù)，成果于2022年底被收錄在Sci期刊《統(tǒng)計(jì)與概率學(xué)雜志》（Statistics and Probability Letters）上，并于今年4月正式發(fā)表。
“課程具備的深度和廣度，能夠讓我們深入了解概率論是一個(gè)怎樣的學(xué)科。在成果發(fā)表過程中，我和謝老師對(duì)論文的行文與內(nèi)容進(jìn)行了大量的修改與斟酌，過程中我受益匪淺”，周瑞松說。
“硬核”課程，有著“柔軟”的思想
數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)習(xí)內(nèi)容常常被人認(rèn)為理論性強(qiáng)而“不接地氣”。實(shí)際上，現(xiàn)代概率論與其他學(xué)科的發(fā)展有千絲萬縷的關(guān)系。
對(duì)離散問題的研究，推動(dòng)了計(jì)算機(jī)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展；貝葉斯概率在有關(guān)模型中的應(yīng)用最后導(dǎo)致了當(dāng)下人工智能產(chǎn)業(yè)的爆發(fā)；現(xiàn)代金融的研究和發(fā)展也離不開概率論體系。
如此種種，謝踐生都將這些學(xué)科交叉的成果都融入講義和課堂中，借此強(qiáng)調(diào)自己對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的理念：“數(shù)學(xué)是精確描述現(xiàn)象的科學(xué)語言，而概率是精確描述不確定性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)語言。只有與實(shí)際現(xiàn)象結(jié)合起來，才能夠真正地理解數(shù)學(xué)、做好數(shù)學(xué)的應(yīng)用。”
他希望，“現(xiàn)代概率論基礎(chǔ)”教給同學(xué)的不僅僅是公式和理論。這門“硬核”的課程，有著“柔軟”的思想——面對(duì)這個(gè)不確定的世界和不完整的知識(shí)，抓住已有的信息逼近真實(shí)，再利用實(shí)踐去檢驗(yàn)。
數(shù)學(xué)并不如外行看來那樣枯燥和蒼白，在這些優(yōu)秀課程的演繹下，也可以是一種美麗的語言。正如謝踐生欣賞的一句名言所說的那樣：“如果一門科學(xué)不能納入數(shù)學(xué)，那它只能被稱為學(xué)科。”
制圖：實(shí)習(xí)編輯：羅鈺責(zé)任編輯：李斯嘉
